Đánh bật đồng xu (hay còn gọi là tung đồng xu) là một trò chơi cổ điển, thường được sử dụng như một phương pháp để đưa ra quyết định ngẫu nhiên hoặc đơn giản là để giải trí. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách xác suất thống kê áp dụng vào việc đánh bật đồng xu.
1. Cơ bản về xác suất trong việc đánh bật đồng xu
Trong toán học, một đồng xu thường được coi là một hệ thống ngẫu nhiên hai mặt. Mỗi mặt của đồng xu đại diện cho một kết quả có thể xảy ra. Thường, mặt đầu tiên được đánh dấu là “sấp” (heads), và mặt thứ hai được đánh dấu là “ngửa” (tails). Vì vậy, khi bạn đánh bật đồng xu, khả năng mà nó sẽ rơi xuống mặt “sấp” hay “ngửa” đều giống nhau nếu đồng xu là đồng xu đồng đều.
Xác suất cơ bản của việc đánh bật đồng xu là 50% cho mỗi kết quả. Nghĩa là, xác suất để đánh bật đồng xu và nhận được mặt “sấp” là 0.5 (hoặc 50%) và xác suất để đánh bật đồng xu và nhận được mặt “ngửa” cũng là 0.5 (hoặc 50%).
2. Xác suất khi đánh bật nhiều lần
Khi đánh bật đồng xu nhiều lần, ví dụ như 100 lần, xác suất tổng thể để nhận được một tỷ lệ gần 50/50 giữa “sấp” và “ngửa” tăng lên. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là bạn sẽ nhận được chính xác 50 lần “sấp” và 50 lần “ngửa”. Sự xuất hiện của kết quả không đều hoàn toàn là một phần của ngẫu nhiên, nhưng qua thời gian, sự chênh lệch sẽ ít đi.
Theo quy tắc trung tâm trong lý thuyết xác suất, khi bạn lặp lại một thí nghiệm ngẫu nhiên nhiều lần, kết quả trung bình sẽ gần với giá trị dự đoán. Điều này áp dụng rất tốt với việc đánh bật đồng xu - nếu bạn lặp lại việc đánh bật đồng xu một số lượng lớn, tỷ lệ "sấp" và "ngửa" sẽ gần với 50/50.
3. Tính toán xác suất thống kê trong việc đánh bật đồng xu
Giả sử bạn muốn biết xác suất nhận được ít nhất 45 lần "sấp" khi đánh bật một đồng xu 100 lần. Đây là vấn đề tính toán xác suất mà chúng ta có thể giải bằng cách sử dụng phân phối nhị thức.
Trong phân phối nhị thức, công thức tính xác suất \( P(X = k) \) để nhận được \( k \) kết quả "sấp" trong \( n \) lần thử (mỗi lần thử có xác suất \( p \) để đạt kết quả "sấp") là:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
Trong trường hợp của chúng ta, \( n = 100 \), \( p = 0.5 \), và chúng ta cần tính tổng xác suất cho \( k = 0 \) đến \( k = 44 \):
\[
P(X \leq 44) = \sum_{k=0}^{44} \binom{100}{k} (0.5)^k (0.5)^{100-k}
\]
4. Sử dụng phân phối chuẩn để xấp xỉ
Do số lần đánh đồng xu là lớn (100 lần), chúng ta có thể sử dụng phân phối chuẩn để xấp xỉ phân phối nhị thức. Trong phân phối nhị thức, giá trị trung bình (\( \mu \)) và độ lệch chuẩn (\( \sigma \)) lần lượt là:
\[
\mu = np = 100 \times 0.5 = 50
\]
\[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5
\]
Bây giờ, để tính xác suất \( P(X \leq 44) \), chúng ta chuyển đổi sang giá trị z của phân phối chuẩn:
\[
z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{44 - 50}{5} = -1.2
\]
Sau đó, chúng ta sử dụng bảng phân phối chuẩn để tìm giá trị xác suất \( P(Z \leq -1.2) \approx 0.1151 \).
Kết luận
Việc đánh bật đồng xu là một ví dụ điển hình về cách xác suất thống kê ứng dụng vào cuộc sống hàng ngày. Mặc dù việc đánh bật đồng xu là một quá trình ngẫu nhiên, chúng ta có thể dự đoán xác suất và hành vi trung bình thông qua lý thuyết xác suất và phân phối nhị thức. Hiểu rõ về xác suất giúp chúng ta nhìn thấy cách các kết quả ngẫu nhiên có thể được mô phỏng và dự đoán một cách chính xác.
